MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA.

Por el profesor Luis F. Jiménez Palop.



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ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA
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BACHILLERATO DE LA MODALIDAD DE
HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES


Primer Curso
Segundo Curso		BACHILLERATO DE LA MODALIDAD DE CIENCIAS
DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD
Y TECNOLOGÍA

Primer Curso
Segundo Curso
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS.
(Breves apuntes).

GAUSS
EN LAS UU.DDs. DE LA ASIGNATURA DE MATEMATICAS DE 1º CURSO DE BACHILLERATO
(CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD Y TENOLOGÍA). Luis Fernando Jiménez Palo
ÍNDICE
1.- INTRODUCCIÓN
2.PINCELADAS SOBRE LA VIDA Y OBRA DE GAUSS
3.GAUSS EN LAS UU.DD.
3.1.Los números reales
3.2. Sucesiones numéricas. Logaritmos
3.3. Ecuaciones lineales y de 2º grado
3.4. Vectores Geometría analítica
3.5 Los números complejos
BIBLIOGRAFÍA

1.- INTRODUCCIÓN
En este documento se pretende situar a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en las UU.DD. de la asignatura de Matemáticas de 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Tecnología, cuyos contenidos tienen una relación directa con sus descubrimientos, ideas y desarrollos matemáticos. En una primera parte se dan unas pinceladas sobre la vida y obra de Gauss que servirá de referencia y apoyo para llevar este importante personaje al conocimiento de nuestros alumnos, cuando tengamos que presentar un teorema, anécdota o descubrimiento de Gauss relacionado con los contenidos de nuestra UU.DD. En segundo lugar se presentan las UU.DDs., con los contenidos del currículo oficial y estos teoremas o descubrimientos relacionados con ellos.

2.- PINCELADAS SOBRE LA VIDA Y OBRA DE GAUSS
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), alemán, es el matemático más grande del siglo XIX, que junto con Newton y Arquímedes forman el trío matemático más importante a lo largo de la historia. Su padre, obrero en Brunswick, intentó evitar que su hijo recibiera una educación adecuada, sin embargo su madre, sin ningún tipo de educación, animó siempre a su hijo a que perseverara en sus estudios, sintiéndose orgullosa de sus logros.
A los 15 años comenzó sus estudios de enseñanza media en Brunswick gracias a la ayuda del duque de Brunswick . En 1795 con la protección del duque entró en la Universidad de Gotinga.
Cuando le faltaba un mes para cumplir los 19 años, 30 de marzo de 1796, hizo un brillante descubrimiento: consiguió construir de acuerdo con la norma euclidea, el polígono regular de 17 lados. Este descubrimiento fue el primer apunte del diario que ese mismo día inició y que mantuvo durante los siguientes 18 años reflejando sus más importantes descubrimientos.
El diario de Gauss un pequeño folleto de 19 páginas, permaneció escondido entre los papeles de la familia hasta 1898, en que se descubrió en poder de un nieto de Gauss en Hamlin. El matemático Félix Klein publicó en 1901 el contenido del diario de Gauss con motivo de la celebración del sexto centenario de la Real Sociedad Científica de Gotinga. Durante breves periodos abandonaba Gauss Gotinga para asistir a la Universidad de Helmstädt, donde recibió su doctorado en 1798 con la tesis "Nueva Demostración del Teorema Que Afirma Que Toda Función Algebraica Racional y Entera de Una Variable Puede Resolverse en Factores Reales de Primero o de Segundo Grado". A este teorema se referiría posteriormente Gauss con el nombre de "Teorema fundamental del álgebra", proposición conocida en Francia como Teorema de d`Alembert.

Dos años después de presentar su tesis, Gauss publicó sus "Disquisiciones arithmeticae" , dedicado a su protector el duque de Brunswick , fue su libro mas famoso y en el se desarrolla el lenguaje y las notaciones de la teoría de números que se conoce como álgebra de las congruencias. Gauss tenia escrito en su sello "pauca sed natura", (poco peo maduro), era una persona rebosante de ideas originales y que no las publicaba hasta que no estaba seguro de su perfección. Gauss es un ejemplo de rigor matemático a presentar a los alumnos.

En relación con los números primos, una de sus contribuciones mas importantes de su libro Disquisitiones fue la de dar una demostración rigurosa del teorema, conocido desde Euclides, de que todo entero positivo mayor que 1 se puede expresar de una y solo una manera (excepto por el orden de los factores) como un producto de números primos. Otra aportación importante, en este caso no incluida en las Disquisitiones, que apareció en la última página de un ejemplar de una tabla de logaritmos de Gauss que tenía desde los 14 años, fue la siguiente inscripción en alemán: Primzahlen unter a(=8) a/1

Es la formulación de Gauss relativa al famoso teorema de los números primos: "El número de números primos menores que a tiende asintóticamente al cociente a/lna cuando a crece indefinidamente.
En otros campos diferentes al de las Matemáticas, las aportaciones de Gauss son numerosas. En Astronomía determinó exactamente la órbita de un planeta, Ceres que se descubrió el primer DIA del siglo XIX,.Actualmente se siguen utilizando las fórmulas de Gauss para el cálculo de órbitas de planetas y satélites artificiales, conocido como "el método de Gauss"En 1807 fue nombrado director del Observatorio Astronómico de Gotinga, cargo que ocupó durante 40 años.. Dentro de la Física cabe destacar sus aportaciones sobre el magnetismo terrestre, con Weber realizó el primer atlas magnético de la tierra, inventó el magnetómetro que se utiliza actualmente, y en honor a el la unidad magnética se le denomina gauss. En el campo de las telecomunicaciones podemos señalar que en 1833-1834 colaboró con Wilhelm Weber en la construcción del primer telégrafo electromagnético, que permitió comunicar entre el Instituto físico de la Universidad y el Observatorio Astronómico de Gotinga.

Gauss murió en 1855 en Gotinga y póstumamente se le ha reconocido con el título de Princeps Mathematicorum.

3.- GAUSS EN LAS UU.DD.
3.1. Los números reales
(1. Aritmética y Álgebra: Números reales. La recta real: Distancia e
intervalos.)
Todo entero positivo como la suma de tres números triangulares.
El 10 de julio de 1796, Gauss indicaba en su diario que todo entero positivo es la suma de tres números triangulares como máximo.
3.2. Sucesiones numéricas. Logaritmos
(1. Aritmética y Álgebra: Sucesiones numéricas. El número e. Logaritmos decimales y neperianos. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.)
La suma de los 100 primeros números
Siendo Gauss niño, un día su maestro en la escuela local, con el fin de tener ocupados y en silencio a los alumnos, les encargó que calcularan la suma de los 100 primeros números y que conforme terminaran dejaran sus pizarras en la mesa del maestro. Gauss llevó la pizarra casi inmediatamente después de que el maestro hablara, el cual miró con desden a Gauss mientras los demás compañeros seguían calculando la suma. Cuando el maestro vio los resultados comprobó que Gauss había realizado la suma asociando parejas de números equidistantes. Había comprobado que las parejas sumaban lo mismo, básicamente aplico la fórmula (n+1) . n/2, donde n=100, obteniendo el número de 5.050.

3.3. Ecuaciones lineales y de 2º grado
(1.Aritmética y Álgebra: Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado. Aplicación del método de Gauss en la resolución e interpretación de sistemas sencillos de ecuaciones lineales.)
El teorema fundamental del álgebra
En sus tesis doctoral, Gauss, demostraba que toda ecuación polinómica f(x)=0 tiene al menos una raíz, ya sen los coeficientes reales o complejos. Para mostrar a los alumnos las ideas con que se movía Gauss se puede resolver gráficamente la ecuación z2 - 16i =0, demostrando que existe un número complejo a+bi que satisface la ecuación. Sustituimos z por a+bi y separando las partes reales e imaginarias nos queda que a2 - b2 =0 y a×b-4=0. Representamos las curvas en unos ejes de coordenadas. La parte real a abscisas y en ordenadas la parte imaginaria b. En su representación gráfica se comprueba que se cortan en un punto del plano del primer cuadrante y en un segundo punto en el tercero. Las curvas que se corresponden con rectas tienen una rama que se aleja del origen según las direcciones a=1p/4 y a=3p/4, y que una rama de la segunda curva, la hipérbola, se acerca asintóticamente a las direcciones a=0p/4 y a=2p/4, el punto de intersección está entre las dos direcciones a=0p/4 y a=2p/4. Las coordenadas a y b son las partes real e imaginaria del número complejo solución de la ecuación. Si en lugar de segundo grado nuestra ecuación hubiera sido de tercero, n grado…., hubiéramos tenido una rama de una de las dos curvas aproximándose a las direcciones a=1p/6 y a=3p/6 para tercer grado y a=1p/n y a=3p/n para grado n; la segunda curva se aproximaría a las direcciones a=0p/6 y a=2p/6 para tercer grado y a a=0p/n y a=2p/6 para grado n. Al ser las ramas continuas en todos sus puntos, tienen que cortarse en algún punto en el ángulo comprendido entre a=0 a a=2p/6 para tercer grado y entre a=0 a a=2p/n para la ecuación de grado n. Con este resultado ya podemos demostrar que un polinomio cualquiera se puede factorizar en factores reales lineales y cuadráticos.

3.4. Vectores Geometría analítica (2 Geometría: Producto escalar de vectores. Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de distancias entre puntos y rectas s) Negación del postulado de las paralelas Siendo estudiante en Gotinga, había intentado demostrar el postulado de la paralelas , como lo había intentado su amigo Wolfgang Bolyai (1775-1856), aunque este finalmente renunció a ello. Mientras tanto Gauss llegó a la conclusión de que tal demostración era imposible , sino que se podría desarrollar una geometría muy diferente a la de Euclides a través de la negación de su postulado de las paralelas. Gauss no publicó sus ideas sobre el postulado de la paralelas, hubiera sido reconocido como inventor de la geometría no euclidea, atribuida a otros matemáticos como Lobachewsky (1793-1856), Es un buen momento para transmitir a los alumnos de una manera sencilla la ideas básicas de cada una de las geometrías con relación a la suma de los ángulos de un triángulo: Elíptica (A + B + C > 180º), hiperbólica (A + B + C <180º), euclidea ( A + B + C = 180º).

3.5. Los números complejos
(1 Aritmética y Álgebra: Los números complejos) La representación gráfica de los números complejos Esta representación fue descubierta en 1797 por Caspar Wessel (1745-1818) y publicada en la revista de la academia de ciencias danesa en 1798. La obra de Wessel pasó desapercibida, pues aunque Gauss publicó sus ideas sobre el plano complejo 30 años mas tarde, lo cierto es que el plano de los números complejos se conoce actualmente por el plano de Gauss. La idea común de Wessel y Gauss fue considerar las partes real e imaginaria de un número complejo como las dos coordenadas rectangulares de un punto en el plano, el cual estaría asociado al número complejo.

BIBLIOGRAFÍA
- BOYER, C.B. (1999): Historia de las Matemáticas. Madrid. Alianza Universal
- Decreto 47/2002, publicado en el Boletín Oficial de la Comunidad Autónoma
de Madrid el 21 de marzo de 2002
- Video de Universo Matemático: Gauss de lo ideal a lo imaginario.
- Diccionario Enciclopédico Espasa Calpe.
Tercero de ESO